Teorya ng kategorya
Ang abstraction sa matematika
Ang isang kamakailang pagkahilig sa pagbuo ng matematika ay ang unti-unting proseso ng abstraction. Ang Norwegian matematiko na si Niels Henrik Abel (1802–29) ay nagpatunay na ang mga equation ng ikalimang degree ay hindi, sa pangkalahatan, ay malulutas ng mga radikal. Ang Pranses na matematiko na si Évariste Galois (1811–32), na nag-udyok sa bahagi ng gawain ni Abel, ay nagpakilala sa ilang mga grupo ng mga pahintulot upang matukoy ang mga kinakailangang kondisyon para sa isang equation ng polynomial na malulutas. Ang mga kongkretong grupo sa lalong madaling panahon ay nagbigay ng mga abstract na grupo, na inilarawan nang axiomatically. Pagkatapos ay napagtanto na upang pag-aralan ang mga pangkat kinakailangan na tingnan ang kaugnayan sa pagitan ng iba't ibang mga grupo — lalo na, sa homomorphism na mapa ang isang pangkat sa isa pa habang pinapanatili ang operasyon ng pangkat. Sa gayon ang mga tao ay nagsimulang pag-aralan ang tinatawag na konkretong kategorya ng mga pangkat, na ang mga bagay ay mga pangkat at ang mga arrow ay homomorphism. Hindi nagtagal para sa mga kategorya ng kongkreto na mapalitan ng mga kategorya ng abstract, inilarawan muli ng axiomatically.
Ang mahalagang paniwala ng isang kategorya ay ipinakilala nina Samuel Eilenberg at Saunders Mac Lane sa pagtatapos ng World War II. Ang mga modernong kategorya ay dapat na makilala mula sa mga kategorya ni Aristotle, na mas mahusay na tinatawag na mga uri sa kasalukuyang konteksto. Ang isang kategorya ay hindi lamang mga bagay kundi pati na rin mga arrow (tinutukoy din bilang mga morphism, pagbabagong-anyo, o mappings) sa pagitan nila.
Maraming mga kategorya ang bilang mga set ng mga bagay na pinagkalooban ng ilang istraktura at arrow, na nagpapanatili sa istrukturang ito. Kaya, mayroong mga kategorya ng mga set (na may walang laman na istraktura) at mga mappings, ng mga grupo at grupo-homomorphism, ng mga singsing at singsing-homomorphism, ng mga puwang ng vector at mga linear na pagbabago, ng mga topological na puwang at patuloy na mga mappings, at iba pa. Mayroong umiiral pa, sa isang mas abstract na antas, ang kategorya ng (maliit) na mga kategorya at mga tagapangasiwa, dahil ang mga morphism sa pagitan ng mga kategorya ay tinawag, na nagpapanatili ng mga relasyon sa mga bagay at arrow.
Hindi lahat ng mga kategorya ay maaaring matingnan sa kongkretong ito. Halimbawa, ang mga pormula ng isang sistema ng dedikasyon ay maaaring makita bilang mga bagay ng isang kategorya na ang mga arrow f: A → B ay mga pagbawas ng B mula sa A. Sa katunayan, ang puntong ito ng pananaw ay mahalaga sa teoretikal na science sa computer, kung saan ang mga formula ay naisip ng bilang mga uri at pagbabawas bilang operasyon.
Mas pormal, ang isang kategorya ay binubuo ng (1) isang koleksyon ng mga bagay A, B, C,..,, (2) para sa bawat iniutos na pares ng mga bagay sa koleksyon ng isang nauugnay na koleksyon ng mga pagbabagong-anyo kabilang ang pagkakakilanlan I A ∶ A → A, at (3) isang nauugnay na batas ng komposisyon para sa bawat iniutos na triple ng mga bagay sa kategorya tulad na para sa f ∶ A → B at g ∶ B → C ang komposisyon gf (o g ○ f) ay isang pagbabagong-anyo mula sa A hanggang C-ibig sabihin, gf ∶ A → C. Bilang karagdagan, ang batas ng pakikipag-ugnay at ang pagkakakilanlan ay kinakailangan na hawakan (kung saan ang komposisyon ay tinukoy) -ie, h (gf) = (hg) f at 1 B f = f = f1 A.
Sa isang kahulugan, ang mga bagay ng isang kategorya ng abstract ay walang mga bintana, tulad ng mga monads ng Leibniz. Upang bawasan ang panloob ng isang bagay Ang isa ay kailangan lamang tumingin sa lahat ng mga arrow mula sa iba pang mga bagay papunta sa A. Halimbawa, sa kategorya ng mga set, ang mga elemento ng isang set A ay maaaring kinakatawan ng mga arrow mula sa isang tipikal na one-element set sa A. Katulad nito, sa kategorya ng mga maliliit na kategorya, kung 1 ay ang kategorya na may isang bagay at walang nonidentity arrow, ang mga bagay ng isang kategorya A ay maaaring makikilala na may mga functors 1 → A. Dagdag pa rito, kung 2 ay ang kategorya na may dalawang bagay at isa nonidentity arrow, ang mga palaso ng A ay maaaring makikilala na may mga functors 2 → A.
Mga istruktura ng Isomorphic
Isang arrow f: Isang → B ay tinatawag na isang isomorphism kung may isang arrow g: B → Ang isang baligtarang na f-samakatuwid nga, na g ○ f = 1 A at f ○ g = 1 B. Ito ay nakasulat na A ≅ B, at ang A at B ay tinatawag na isomorphic, nangangahulugang mayroon silang mahalagang kaparehong istraktura at na hindi na kailangang makilala sa pagitan nila. Dahil sa matematika na mga nilalang ay mga bagay ng mga kategorya, bibigyan lamang sila ng isomorphism. Ang kanilang tradisyonal na set-theoretical na konstruksyon, maliban sa paghahatid ng isang kapaki-pakinabang na layunin sa pagpapakita ng pagkakapare-pareho, ay talagang hindi nauugnay.
Halimbawa, sa karaniwang pagtatayo ng singsing ng mga integer, ang isang integer ay tinukoy bilang isang klase ng pagkakapantay ng mga pares (m, n) ng mga likas na numero, kung saan (m, n) ay katumbas ng (m ′, n ′) kung at kung m + n ′ = m ′ + n. Ang ideya ay ang pagkakapantay-pantay na klase ng (m, n) ay titingnan bilang m - n. Ang mahalaga sa isang kategorya, gayunpaman, ang singsing ng mga integers ay isang paunang bagay sa kategorya ng mga singsing at homomorphism — iyon ay, na para sa bawat singsing, mayroong isang natatanging homomorphism ℤ → ℝ. Nakita sa ganitong paraan, ang ℤ ay ibinibigay hanggang sa isomorphism lamang. Sa parehong espiritu, dapat itong sabihin hindi na ℤ ay nakapaloob sa larangan ng ℚ ng mga nakapangangatwiran na numero ngunit lamang na ang homomorphism ℤ → ℚ ay isa-sa-isa. Gayundin, walang saysay na magsalita tungkol sa set-theoretical intersection ng π at Square root ngref-1, kung ang kapwa ay ipinahayag bilang mga hanay ng mga hanay ng mga set (ad infinitum).
Ng espesyal na interes sa mga pundasyon at sa iba pang lugar ay ang mga magkatabi na mga katrabaho (F, G). Ito ay mga pares ng mga katulong sa pagitan ng dalawang kategorya ? at ℬ, na pumupunta sa kabaligtaran ng mga direksyon na ang isang-sa-isang sulat ay umiiral sa pagitan ng hanay ng mga arrow F (A) → B sa ℬ at ang hanay ng mga arrow A A: G (B) sa ? — ibig sabihin, ang mga hanay ay isomorphic.
