Lohika at metalogic
Sa isang kahulugan, ang lohika ay makikilala sa prediksyong calculus ng unang pagkakasunud-sunod, ang calculus kung saan ang mga variable ay nakakulong sa mga indibidwal ng isang nakapirming domain - kahit na kabilang dito ang pati na lohika ng pagkakakilanlan, sinasagisag "=," na tumatagal ng mga ordinaryong katangian ng pagkakakilanlan bilang bahagi ng lohika. Sa kadahilanang ito ay nakamit ng Gottlob Frege ang isang pormal na calculus ng lohika nang maaga ng 1879. Minsan ang logic ay nahuhulugan, gayunpaman, pati na rin kasama ang mas mataas na pagkakasunud-sunod na prediksyon ng calculi, na kinikilala ang mga variable ng mas mataas na uri, tulad ng mga nagmula sa mga predicates (o mga klase at relasyon) at iba pa. Ngunit kung gayon ito ay isang maliit na hakbang sa pagsasama ng set theory, at, sa katunayan, ang teyomatikong set theory ay madalas na itinuturing bilang isang bahagi ng lohika. Gayunpaman, para sa mga layunin ng artikulong ito, mas angkop na makulong ang talakayan upang maging lohika sa unang kahulugan.
Mahirap na paghiwalayin ang mga makabuluhang natuklasan sa lohika mula sa mga nasa metalogic, dahil ang lahat ng mga teorem ng interes sa mga logician ay tungkol sa lohika at samakatuwid ay kabilang sa metalogic. Kung ang p ay isang teorema sa matematika — lalo na, ang tungkol sa lohika-at ang P ay ang pagsasama ng mga axiom sa matematika na ginagamit para sa pagpapatunay ng p, kung gayon ang bawat p ay maaaring maging isang teorema, "alinman sa hindi-P o p," sa lohika. Ang matematika ay hindi ginagawa, gayunpaman, sa pamamagitan ng pagsasagawa ng malinaw na lahat ng mga hakbang bilang pormal na lohika; ang pagpili at madaling maunawaan ng mga axioms ay mahalaga kapwa para sa matematika at para sa metamatematika. Ang aktwal na derivation sa lohika, tulad ng mga isinasagawa bago pa ang World War I nina Alfred North Whitehead at Bertrand Russell, ay walang kaunting interes sa mga logician. Ito ay maaaring lilitaw na kalabisan upang ipakilala ang term na metalogic. Sa kasalukuyang pag-uuri, gayunpaman, ang metalogic ay hinuhulaan bilang pakikitungo hindi lamang sa mga natuklasan tungkol sa lohikal na calculi kundi pati na rin sa mga pag-aaral ng mga pormal na sistema at pormal na wika sa pangkalahatan.
Ang isang ordinaryong pormal na sistema ay naiiba mula sa isang lohikal na calculus na ang system ay karaniwang may isang inilaan na interpretasyon, samantalang ang lohikal na calculus ay sadyang iniiwan ang posibleng mga interpretasyon. Kaya, ang isa ay nagsasalita, halimbawa, ng katotohanan o kasinungalingan ng mga pangungusap sa isang pormal na sistema, ngunit may paggalang sa isang lohikal na calculus ang isa ay nagsasalita ng bisa (ibig sabihin, ang pagiging totoo sa lahat ng mga interpretasyon o sa lahat ng posibleng mga mundo) at ng satisfiability (o pagkakaroon ng isang modelo-ibig sabihin, pagiging totoo sa ilang partikular na interpretasyon). Samakatuwid, ang pagkumpleto ng isang lohikal na calculus ay may ibang kakaibang kahulugan mula sa isang pormal na sistema: isang lohikal na calculus ang nagpapahintulot sa maraming mga pangungusap na hindi alinman sa pangungusap o ang pagpapabaya nito ay isang teorema sapagkat ito ay totoo sa ilang mga interpretasyon at hindi totoo sa iba, at nangangailangan lamang ito na ang bawat wastong pangungusap ay isang teorema.
