Ang hypemhesis ng Riemann, sa teorya ng bilang, hypothesis ng matematika ng Aleman na si Bernhard Riemann tungkol sa lokasyon ng mga solusyon sa pagpapaandar ng Riemann zeta, na konektado sa punong teorya ng bilang at may mahalagang mga implikasyon para sa pamamahagi ng mga pangunahing numero. Kasama ni Riemann ang hypothesis sa isang papel, "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Sa Bilang ng Punong Numero na Mas Kulang sa Isang Naibigay na Dami"), na inilathala sa edisyon ng Nobyembre 1859 ng Monatsberichte der Berliner Akademie ("Buwanang Review ng Berlin Academy ”).
Ang zeta function ay tinukoy bilang ang walang hanggan serye 1 (s) = 1 + 2 + s + 3 −s + 4 −s + ⋯, o, sa mas compact notation, , kung saan ang pagbubuod (Σ) ng mga termino para sa n ay tumatakbo mula 1 hanggang kawalang-hanggan sa pamamagitan ng mga positibong integer at s ay isang nakapirming positibong integer na higit pa sa 1. Ang pag-andar ng zeta ay unang pinag-aralan ng Swiss matematika na si Leonhard Euler noong ika-18 siglo. (Para sa kadahilanang ito, kung minsan ay tinatawag itong Euler zeta function. Para sa ζ (1), ang seryeng ito ay simpleng harmonic series, na kilala mula noong unang panahon upang madagdagan nang walang nakagapos - ibig sabihin, ang kabuuan nito ay walang hanggan.) Nakamit ni Euler ang instant na katanyagan kapag siya pinatunayan sa 1735 na ζ (2) = π 2 /6, isang problema na mailap sa mga pinakadakilang mathematicians ng panahon, kabilang ang Swiss Bernoulli pamilya (Jakob, Johann, at Daniel). Mas pangkalahatan, natuklasan ni Euler (1739) ang isang kaugnayan sa pagitan ng halaga ng zeta function para sa kahit na mga integer at mga numero ng Bernoulli, na kung saan ay ang mga coefficient sa pagpapalawak ng serye ng Taylor ng x / (e x - 1). (Tingnan din ang pagpapaunlad ng pag-andar.) Mas kamangha-mangha pa rin, noong 1737 natuklasan ni Euler ang isang pormula na may kaugnayan sa pagpapaandar ng zeta, na nagsasangkot ng paglalagom ng isang walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga termino na naglalaman ng mga positibong integer, at isang walang katapusang produkto na nagsasangkot sa bawat punong kalakasan:
Pinahaba ni Riemann ang pag-aaral ng zeta function na isama ang mga kumplikadong numero x + iy, kung saan i = Square ugat ng root 1, maliban sa linya x = 1 sa kumplikadong eroplano. Alam ni Riemann na ang zeta function ay katumbas ng zero para sa lahat ng negatibong kahit na mga integer ay −2, −4, −6,
(tinatawag na trivial zeros) at mayroon itong isang walang hanggan bilang ng mga zero sa kritikal na guhit ng mga kumplikadong numero na mahuhulog sa pagitan ng mga linya x = 0 at x = 1. Alam din niya na ang lahat ng mga nontrivial zeros ay simetriko na may paggalang sa kritikal line x = 1 / 2. Ipinagpalagay ni Riemann na ang lahat ng mga nontrivial zeros ay nasa kritikal na linya, isang haka-haka na sa kalaunan ay nakilala bilang hypothesis ng Riemann.
Noong 1914 Ingles mathematician Godfrey Harold Hardy pinatunayan na ang isang walang-katapusang bilang ng mga solusyon ng ζ (s) = 0 exist sa kritikal na linya x = 1 / 2. Kasunod nito ay ipinakita ng iba't ibang mga matematiko na ang isang malaking proporsyon ng mga solusyon ay dapat magsinungaling sa kritikal na linya, kahit na ang madalas na "mga patunay" na ang lahat ng mga walang katuturang mga solusyon ay nasa ibabaw nito. Ginamit din ang mga kompyuter upang masubukan ang mga solusyon, kasama ang unang 10 trilyon na mga nontrivial solution na ipinapakita upang magsinungaling sa kritikal na linya.
Ang isang patunay ng Riemann hypothesis ay may malalayong kahihinatnan para sa teorya ng numero at para sa paggamit ng mga primes sa kriptograpiya.
Ang Riemann hypothesis ay matagal nang itinuturing na pinakadakilang hindi nalutas na problema sa matematika. Ito ay isa sa 10 hindi nalutas na mga problema sa matematika (23 sa nakalimbag na address) na ipinakita bilang isang hamon para sa ika-20 siglo ng matematika ng Aleman na matematiko na si David Hilbert sa Ikalawang International Kongreso ng Matematika sa Paris noong Agosto 8, 1900. Noong 2000 Amerikanong matematiko na Stephen In-update ni Smale ang ideya ni Hilbert na may listahan ng mga mahahalagang problema para sa ika-21 siglo; ang Riemann hypothesis ay numero uno. Noong 2000 ay itinalaga itong isang Milenyong Suliranin, isa sa pitong mga problemang pang-matematika na pinili ng Clay Mathematics Institute of Cambridge, Mass., US, para sa isang espesyal na parangal. Ang solusyon para sa bawat Milenyong Suliranin ay nagkakahalaga ng $ 1 milyon. Noong 2008, ang US Defense Advanced Research Projects Agency (DARPA) ay nakalista ito bilang isa sa DARPA Mathematical Hamon, 23 mga problemang pang-matematika na kung saan ito ay humihingi ng mga panukala sa pananaliksik para sa pagpopondo - "Matematika na Hamon Siyamnapulo: Pangkatin ang Hypothesis ng Riemann. Ang Banal na Grail ng teorya ng numero."
