Riemann zeta function, gumagana kapaki-pakinabang sa numero ng teorya para sa pagsisiyasat ng mga katangian ng mga pangunahing numero. Nakasulat bilang ζ (x), ito ay orihinal na tinukoy bilang ang walang hanggan seriesζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Kapag x = 1, ang seryeng ito ay tinatawag na harmonic series, na tumataas nang walang nakatali - ibig sabihin, ang kabuuan nito ay walang hanggan. Para sa mga halaga ng x na mas malaki kaysa sa 1, ang serye ay nagko-convert sa isang may hangganang bilang bilang sunud-sunod na mga term ay idinagdag. Kung ang x ay mas mababa sa 1, ang kabuuan ay muling walang hanggan. Ang zeta function ay nakilala sa Swiss matematiko na si Leonhard Euler noong 1737, ngunit una itong napag-aralan ng German matematika na si Bernhard Riemann.
Noong 1859 ay naglathala si Riemann ng isang papel na nagbibigay ng isang malinaw na pormula para sa bilang ng mga prima hanggang sa anumang limitasyong inilahad — isang napagpasyahang pagpapabuti sa tinatayang halaga na ibinigay ng punong teorya ng teorya. Gayunpaman, ang pormula ni Riemann ay nakasalalay sa pag-alam ng mga halaga kung saan ang isang pangkalahatang bersyon ng zeta function ay katumbas ng zero. (Ang pag-andar ng Riemann zeta ay tinukoy para sa lahat ng mga kumplikadong numero - mga numero ng form x + iy, kung saan i = Square ugat ng − 1 - maliban sa linya x = 1.) Alam ni Riemann na ang pagpapaandar ay katumbas ng zero para sa lahat ng negatibo kahit na mga integer na −2, −4, −6,
(tinatawag na trivial zeros), at mayroon itong isang walang katapusang bilang ng mga zero sa kritikal na guhit ng mga kumplikadong numero sa pagitan ng mga linya x = 0 at x = 1, at alam din niya na ang lahat ng mga nontrivial zeros ay simetriko na may paggalang sa kritikal line x = 1 / 2. Ipinagpalagay ni Riemann na ang lahat ng mga nontrivial zeros ay nasa kritikal na linya, isang haka-haka na sa kalaunan ay nakilala bilang hypothesis ng Riemann.
Noong 1900, tinawag ng matematika ng Aleman na si David Hilbert na ang Riemann hypothesis ay isa sa mga pinakamahalagang katanungan sa lahat ng matematika, tulad ng ipinakilala sa pagsasama nito sa kanyang maimpluwensyang listahan ng 23 na hindi nalutas na mga problema kung saan hinamon niya ang ika-20 siglo na matematika. Noong 1915, pinatunayan ng matematika ng Ingles na si Godfrey Hardy na isang walang katapusang bilang ng mga zero ang nangyayari sa kritikal na linya, at noong 1986 ang unang 1,500,000,001 na mga nontrivial na zero ay lahat na ipinakita na nasa kritikal na linya. Bagaman maaari pa ring mali ang hypothesis, ang mga pagsisiyasat sa mahirap na problema na ito ay nagpayaman sa pag-unawa sa mga kumplikadong numero.
