Kasaysayan ng pagsusuri
Ang mga Greeks ay nakatagpo ng patuloy na magnitude
Binubuo ang pagtatasa ng mga bahagi ng matematika kung saan mahalaga ang patuloy na pagbabago. Kasama dito ang pag-aaral ng paggalaw at ang geometry ng makinis na mga kurba at ibabaw - lalo na, ang pagkalkula ng mga tangents, lugar, at volume. Ang mga sinaunang Greek matematika ay gumawa ng mahusay na pag-unlad sa parehong teorya at kasanayan ng pagsusuri. Ang teorya ay pinilit sa kanila tungkol sa 500 bce sa pamamagitan ng Pythagorean na pagtuklas ng hindi makatwiran na magnitude at humigit-kumulang na 450 bce ng paradox ng paggalaw ni Zeno.
Ang mga Pythagorean at hindi makatwiran na mga numero
Sa una, naniniwala ang mga Pythagoreans na ang lahat ng mga bagay ay maaaring masukat ng mga discrete natural na numero (1, 2, 3,
) at ang kanilang mga ratios (ordinaryong mga praksiyon, o ang mga nakapangangatwiran na mga numero). Ang paniniwala na ito ay inalog, gayunpaman, sa pamamagitan ng pagtuklas na ang diagonal ng isang unit square (iyon ay, isang parisukat na ang mga panig ay may haba na 1) ay hindi maipahayag bilang isang makatwiran na numero. Ang pagtuklas na ito ay isinagawa ng kanilang sariling teorema sa Pythagorean, na itinatag na ang parisukat sa hypotenuse ng isang tamang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat sa iba pang dalawang panig — sa modernong notasyon, c 2 = a 2 + b 2. Sa isang parisukat na yunit, ang dayagonal ay ang hypotenuse ng isang tamang tatsulok, na may mga panig ng = b = 1; samakatuwid, ang panukalang-batas na ito ay ang ugat ng Square ngref2 - isang hindi makatwiran na bilang. Laban sa kanilang sariling hangarin, ipinakita ng mga Pythagoreans na ang mga nakapangangatwiran na mga numero ay hindi sapat para sa pagsukat kahit na mga simpleng geometric na bagay. (Tingnan ang Sidebar: Hindi kumpleto.) Ang kanilang reaksyon ay lumikha ng isang aritmetika ng mga linya ng linya, tulad ng matatagpuan sa Book II ng Euclid's Element (c. 300 bce), na kasama ang isang geometric na interpretasyon ng mga nakapangangatwiran na mga numero. Para sa mga Griego, ang mga linya ng linya ay mas pangkalahatan kaysa sa mga numero, sapagkat kasama nila ang patuloy na pati na rin ang mga discrete magnitude.
Sa katunayan, ang ugat sa square2 ay maaaring nauugnay sa mga nakapangangatwiran na mga numero lamang sa pamamagitan ng isang walang katapusang proseso. Ito ay natanto ni Euclid, na nag-aral ng aritmetika ng parehong mga nakapangangatwiran na mga numero at mga linya ng linya. Ang kanyang sikat na Euclidean algorithm, kapag inilalapat sa isang pares ng mga likas na numero, ay humahantong sa isang hangganan na bilang ng mga hakbang sa kanilang pinakadakilang dibahagi. Gayunpaman, kapag inilapat sa isang pares ng mga linya ng linya na may hindi makatwiran na ratio, tulad ng Square root ngref2 at 1, nabigo itong wakasan. Ginamit pa ni Euclid ang pag-aari ng nontermination na ito bilang isang criterion para sa hindi makatwiran. Sa gayon, hinamon ng hindi makatwiran ang konsepto ng bilang ng mga Greek sa pamamagitan ng pagpilit sa kanila na harapin ang walang katapusang mga proseso.
Ang mga paradya ni Zeno at ang konsepto ng paggalaw
Kung paanong ang ugat ng Square ofref2 ay isang hamon sa konsepto ng bilang ng mga Griego, ang mga paradya ni Zeno ay isang hamon sa kanilang konsepto ng paggalaw. Sa kanyang pisika (c. 350 bce), binanggit ni Aristotle si Zeno bilang sinasabi:
Walang paggalaw dahil ang nailipat ay dapat dumating sa gitna [ng kurso] bago ito dumating sa dulo.
Ang mga argumento ni Zeno ay kilala lamang sa pamamagitan ni Aristotle, na sinipi ang mga ito lalo na upang patunayan ang mga ito. Siguro, ang ibig sabihin ni Zeno na, upang makakuha ng kahit saan, ang isa ay dapat munang pumunta sa kalahating daan at bago ang isang-ikaapat na paraan at bago ang isang-ikawalong paraan at iba pa. Dahil ang prosesong ito ng paghihiwalay ng mga distansya ay magpapatuloy sa kawalang-hanggan (isang konsepto na hindi tatanggapin ng mga Greeks hangga't maaari), sinabi ni Zeno na "patunayan" na ang katotohanan ay binubuo ng pagiging walang pagbabago. Gayunpaman, sa kabila ng kanilang pagkapoot ng kawalang-hanggan, natagpuan ng mga Griego na ang konsepto ay kailangang-kailangan sa matematika ng tuluy-tuloy na kadiliman. Kaya't pinag-aralan nila ang tungkol sa kawalang-hanggan hangga't maaari, sa isang lohikal na balangkas na tinatawag na teorya ng mga proporsyon at gamit ang pamamaraan ng pagkaubos.
Ang teorya ng mga proporsyon ay nilikha ni Eudoxus tungkol sa 350 bce at napreserba sa Book V ng Euclid's Element. Itinatag nito ang isang eksaktong ugnayan sa pagitan ng mga nakapangangatwiran na magnitude at di-makatwirang magnitude sa pamamagitan ng pagtukoy ng dalawang magnitude na maging pantay kung ang mga rational magnitude na mas mababa sa kanila ay pareho. Sa madaling salita, ang dalawang magnitude ay naiiba lamang kung mayroong isang rational magnitude na mahigpit sa pagitan nila. Ang kahulugan na ito ay nagsilbi sa mga matematiko para sa dalawang millennia at naitaguyod ang aritmetisasyon ng pagsusuri noong ika-19 na siglo, kung saan ang mga di-makatwirang mga numero ay mahigpit na tinukoy sa mga tuntunin ng mga nakapangangatwiran na mga numero. Ang teorya ng mga proporsyon ay ang unang mahigpit na paggamot sa konsepto ng mga limitasyon, isang ideya na nasa pangunahing pagsusuri ng modernong pagsusuri. Sa mga modernong termino, ang teorya ng Eudoxus 'ay tinukoy ang mga di-makatwirang magnitude bilang mga limitasyon ng mga rational magnitude, at mga pangunahing teorema tungkol sa kabuuan, pagkakaiba, at produkto ng mga magnitude ay katumbas ng mga teoryang tungkol sa kabuuan, pagkakaiba, at produkto ng mga limitasyon.
