Pormal na lohika

Semantiko tableaux

Mula noong 1980s isa pang pamamaraan para sa pagtukoy ng bisa ng mga argumento sa alinman sa PC o LPC ay nakakuha ng ilang katanyagan, dahil sa kadalian ng pag-aaral at sa prangka nitong pagpapatupad ng mga programa sa computer. Orihinal na iminungkahi ng Dutch logician na si Evert W. Beth, ito ay higit na ganap na binuo at isinapubliko ng Amerikanong matematiko at lohista na si Raymond M. Smullyan. Ang pagpapanatili sa pagmamasid na imposible para sa lugar ng isang wastong argumento na maging totoo habang ang konklusyon ay mali, ang pamamaraang ito ay nagtatangkang bigyang-kahulugan (o suriin) ang lugar sa isang paraan na silang lahat ay sabay-sabay na nasisiyahan at ang negasyon ng ang pagtatapos ay nasiyahan din. Ang tagumpay sa gayong pagsisikap ay magpapakita ng argumento na hindi wasto, habang ang kabiguang makahanap ng nasabing interpretasyon ay magpapakita na ito ay may bisa.

Ang pagtatayo ng isang semantikong tableau ay nagpapatuloy tulad ng mga sumusunod: ipahayag ang lugar at negosasyon ng pagtatapos ng isang argumento sa PC gamit lamang ang negation (∼) at disjunction (∨) bilang panukalang pang-uugnay. Tanggalin ang bawat paglitaw ng dalawang mga palatandaan ng negasyon sa isang pagkakasunud-sunod (halimbawa, ang ∼∼∼∼∼a ay nagiging ∼a). Ngayon ay magtayo ng isang diagram ng puno na sumasanga pababa hanggang sa ang bawat disjunction ay pinalitan ng dalawang sanga, ang isa para sa kaliwang disjunct at ang isa para sa kanan. Ang orihinal na disjunction ay totoo kung ang alinman sa sangay ay totoo. Ang sanggunian sa mga batas ni De Morgan ay nagpapakita na ang isang negation ng isang disjunction ay totoo kung sakaling ang mga negations ng parehong disjuncts ay totoo [ibig sabihin, ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Ang obserbasyong semantiko na ito ay humahantong sa patakaran na ang negasyon ng isang disjunction ay nagiging isang sangay na naglalaman ng negation ng bawat disjunct:

Isaalang-alang ang sumusunod na argumento:

Sumulat:

Ngayon ay iwaksi ang disjunction at bumubuo ng dalawang sanga:

Kung ang lahat ng mga pangungusap sa hindi bababa sa isang sangay ay posible para sa orihinal na lugar na maging totoo at ang konklusyon ay mali (pantay-pantay para sa negasyon ng konklusyon). Sa pamamagitan ng pagsunod sa linya pataas sa bawat sangay hanggang sa tuktok ng puno, isang obserbahan na walang pagpapahalaga sa isang sa kaliwang sanga ang magreresulta sa lahat ng mga pangungusap sa sangang iyon na natatanggap ang halaga (dahil sa pagkakaroon ng isang at)a). Katulad nito, sa tamang sangay ang pagkakaroon ng b at ∼b ay imposible para sa isang pagpapahalaga na magreresulta sa lahat ng mga pangungusap ng sangay na natatanggap ang halaga. Ito ang lahat ng posibleng mga sanga; sa gayon, imposible na makahanap ng isang sitwasyon kung saan ang mga lugar ay totoo at hindi totoo ang konklusyon. Ang orihinal na argumento ay may bisa.

Ang pamamaraan na ito ay maaaring mapalawak upang makitungo sa iba pang mga nag-uugnay:

Bukod dito, sa LPC, dapat ipakilala ang mga panuntunan para sa pag-instantiyang ng dami ng wff Maliwanag, ang anumang sangay na naglalaman ng pareho (∀x) ϕx at ∼ϕy ay isa kung saan hindi lahat ng mga pangungusap sa sangay na iyon ay maaaring sabay na nasiyahan (sa ilalim ng pag-aakalang umption-consistency; tingnan ang metalogic). Muli, kung ang lahat ng mga sanga ay nabibigo na hindi sabay-sabay na maiisa, wasto ang orihinal na argumento.

Mga espesyal na sistema ng LPC

Ang LPC bilang ipinaliwanag sa itaas ay maaaring mabago sa pamamagitan ng alinman sa paghihigpit o pagpapalawak ng saklaw ng wffs sa iba't ibang paraan:

• 1.Partial system ng LPC. Ang ilan sa mga mas mahahalagang sistema na ginawa ng paghihigpit ay nakalarawan dito:

  • a.Ito ay kinakailangan na ang bawat paunang variable ay maging monadic habang pinapayagan pa rin ang isang walang hanggan bilang ng mga indibidwal at hulaan variable. Ang mga atomic wffs ay sadya lamang ang mga binubuo ng isang predicate variable na sinusundan ng isang solong indibidwal na variable. Kung hindi man, ang mga patakaran ng pagbuo ay mananatili tulad ng dati, at ang kahulugan ng pagiging wasto ay tulad din ng dati, kahit na pinasimple sa mga malinaw na paraan. Ang sistemang ito ay kilala bilang monadic LPC; nagbibigay ito ng isang lohika ng mga pag-aari ngunit hindi sa mga relasyon. Isang mahalagang katangian ng sistemang ito ay ang napapasya. (Ang pagpapakilala kahit isang solong variable ng prediksyon ng dyadic, gayunpaman, ay gagawa ng system na hindi mapag-aalinlangan, at, sa katunayan, kahit na ang sistema na naglalaman lamang ng isang solong dyadic predicate variable at walang iba pang mga hula na variable sa lahat ay ipinapakita na hindi maiyak.)

  • BA pa rin ang mas simpleng sistema ay maaaring mabuo sa pamamagitan ng hinihiling (1) na ang bawat predicate variable ay maging monadic, (2) na isang solong indibidwal na variable lamang (hal. x) ang gagamitin, (3) na ang bawat paglitaw ng variable na ito ay maaaring gapos, at (4) na walang quantifier na nangyayari sa loob ng saklaw ng anumang iba pa. Ang mga halimbawa ng mga wff ng sistemang ito ay (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] ("Ano ang parehong ψ at χ"); (∃x) (ϕx · ∼ψx) ("Mayroong isang bagay ngunit hindi ψ"); at (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) ("Kung anuman ang ϕ ay ψ, kung gayon mayroong isang bagay both at ψ"). Ang notasyon para sa sistemang ito ay maaaring gawing pasimple sa pamamagitan ng pagtanggal ng x sa lahat ng dako at pagsulat ∃ϕ para sa "Isang bagay ay ϕ," ∀ (ϕ ⊃ ψ) para sa "Anuman ang ϕ ay ψ," at iba pa. Bagaman ang sistemang ito ay higit na hindi kapani-paniwala kahit na sa monadic LPC (na kung saan ito ay isang fragment), ang mga form ng isang malawak na hanay ng mga komperensiya ay maaaring kinakatawan dito. Ito rin ay isang disidido na sistema, at ang mga pamamaraan ng pagpapasya ng isang uri ng elementarya ay maaaring ibigay para dito.

• 2.Extensions ng LPC. Ang mas detalyadong mga sistema, kung saan ang isang mas malawak na hanay ng mga panukala ay maipahayag, ay naitayo sa pamamagitan ng pagdaragdag sa mga bagong simbolo ng LPC ng iba't ibang uri. Ang pinaka diretso ng naturang mga karagdagan ay:

  • a.One o higit pang mga indibidwal na constants (sabihin, a, b,

    ): ang mga constants ay binibigyang kahulugan bilang mga pangalan ng mga tiyak na indibidwal; pormal na sila ay nakikilala mula sa mga indibidwal na variable sa pamamagitan ng katotohanan na hindi sila maaaring mangyari sa loob ng mga quantifier; halimbawa, (∀x) ay isang quantifier ngunit (∀a) ay hindi.

  • b.One o higit pang predicate constants (sabihin, A, B,

    ), ang bawat isa sa ilang tinukoy na degree, naisip bilang pagdidisenyo ng mga tukoy na katangian o relasyon.

Ang isang karagdagang posibleng karagdagan, na tumatawag para sa medyo mas paliwanag, ay binubuo ng mga simbolo na idinisenyo upang tumayo para sa mga pag-andar. Ang paniwala ng isang function ay maaaring sapat na ipinaliwanag para sa mga kasalukuyang layunin tulad ng sumusunod. Sinasabi na isang tiyak na pag-andar ng mga argumento (o, ng degree n) kapag mayroong isang panuntunan na tumutukoy sa isang natatanging bagay (na tinatawag na halaga ng pag-andar) tuwing lahat ng mga argumento ay tinukoy. Sa domain ng mga tao, halimbawa, "ang ina ng -" ay isang monadic function (isang function ng isang argumento), dahil sa bawat tao ay mayroong isang natatanging indibidwal na kanyang ina; at sa domain ng mga likas na numero (ibig sabihin, 0, 1, 2,

), "Ang kabuuan ng - at -" ay isang function ng dalawang argumento, dahil para sa anumang pares ng mga likas na numero ay mayroong isang natural na bilang na kanilang kabuuan. Ang isang simbolo ng function ay maaaring isipin bilang bumubuo ng isang pangalan sa ibang mga pangalan (mga argumento nito); sa gayon, tuwing x at y mga numero ng pangalan, "ang kabuuan ng x at y" ay nagngangalan din ng isang numero, at katulad para sa iba pang mga uri ng pag-andar at argumento.

Upang paganahin ang mga function na ipinahayag sa LPC maaaring may idinagdag:

• c.One o higit pang mga variable na pag-andar (sabihin, f, g,

  ) o isa o higit pang mga function na patuloy (sabihin, F, G,

  ) o pareho, ang bawat isa sa ilang tinukoy na degree. Ang dating ay binibigyang kahulugan bilang sumasaklaw sa mga pag-andar ng mga degree na tinukoy at ang huli bilang pagtukoy ng mga tiyak na pag-andar ng degree na iyon.

Kung mayroon man o lahat ng a-c ay idinagdag sa LPC, ang mga patakaran ng pagbuo na nakalista sa unang talata ng seksyon sa mas mababang calculus ng prediksyon (tingnan sa itaas Ang calculus ng mas mababang prediksyon) ay kailangang mabago upang paganahin ang mga bagong simbolo na isama sa wffs. Maaari itong gawin tulad ng sumusunod: Ang isang termino ay unang tinukoy bilang alinman sa (1) isang indibidwal na variable o (2) isang indibidwal na pare-pareho o (3) anumang expression na nabuo sa pamamagitan ng prefixing isang function variable o pag-andar na pare-pareho ng degree n sa anumang n term (ang mga salitang ito - ang mga argumento ng simbolo ng pagpapaandar - ay karaniwang pinaghiwalay ng mga koma at nakapaloob sa mga panaklong). Ang form ng panuntunan 1 ay pinalitan ng:

• 1′.Ang expression na binubuo ng isang predicate variable o predicate na pare-pareho ng degree n na sinusundan ng n term ay isang wff.

Ang batayang axiomatic na ibinigay sa seksyon sa axiomatization ng LPC (tingnan sa itaas Axiomatization ng LPC) ay nangangailangan din ng sumusunod na pagbabago: sa axiom schema 2 ang anumang termino ay pinahihintulutan na palitan ang isang kapag nabuo ang β, na ibinigay na walang variable na libre sa term ay magiging nakasalalay sa β. Ang mga sumusunod na halimbawa ay ilalarawan ang paggamit ng mga nabanggit na pagdaragdag sa LPC: hayaan ang mga halaga ng mga indibidwal na variable ay natural na mga numero; hayaan ang indibidwal na maging isang at b tumayo para sa mga numero 2 at 3, ayon sa pagkakabanggit; hayaan ang isang ibig sabihin na "ay pangunahing"; at hayaang si F ay kumakatawan sa dyadic function na "kabuuan ng." Pagkatapos AF (a, b) ay ipinahayag ang panukala na "Ang kabuuan ng 2 at 3 ay pangunahin," at (∃x) AF (x, a) ay nagpapahayag ng panukala "Mayroong isang bilang na ang kabuuan nito at 2 ay kalakasan."

Ang pagpapakilala ng mga constants ay karaniwang sinamahan ng pagdaragdag sa axiomatic na batayan ng mga espesyal na axiom na naglalaman ng mga constants, na idinisenyo upang ipahayag ang mga prinsipyo na humahawak ng mga bagay, katangian, relasyon, o pag-andar na kinakatawan ng mga ito - kahit na hindi sila hawak ng mga bagay, mga katangian, relasyon, o pag-andar sa pangkalahatan. Maaring napagpasyahan, halimbawa, na gamitin ang pare-pareho A upang kumatawan sa kaugnayan ng dyadic na "ay mas malaki kaysa" (upang ang Axy ay nangangahulugang "x ay higit sa y" at iba pa). Ang kaugnay na ito, hindi katulad ng marami sa iba, ay palipat; ibig sabihin, kung ang isang bagay ay mas malaki kaysa sa isang segundo at ang pangalawa ay mas malaki kaysa sa isang third, kung gayon ang una ay mas malaki kaysa sa ikatlo. Samakatuwid, ang mga sumusunod na espesyal na axiom schema ay maaaring maidagdag: kung ang t ₁, t ₂, at t ₃ ay anumang mga termino, kung gayon (Sa ₁ t ₂ · Sa ₂ t ₃) ⊃ Sa ₁ t ₃ ay isang axiom. Sa pamamagitan ng mga paraan ay maaaring itayo ang mga system upang maipahayag ang mga lohikal na istruktura ng iba't ibang partikular na disiplina. Ang lugar na kung saan ang karamihan sa gawain ng ganitong uri ay nagawa ay ang natural-number arithmetic.

Minsan pinagsama ang PC at LPC sa isang solong sistema. Maaari itong gawin nang simple sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga variable na panukala sa listahan ng mga primitibo ng LPC, pagdaragdag ng isang patakaran sa pagbuo sa epekto na ang isang panukalang variable na nakatayo nag-iisa ay isang wff, at tinanggal ang "LPC" sa axiom schema. bilang (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx at (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-may-pagkakakilanlan. Ang salitang "ay" ay hindi palaging ginagamit sa parehong paraan. Sa isang panukala tulad ng (1) "Socrates ay snub-nosed," ang expression bago ang "ay" pangalan ng isang indibidwal at ang expression na sumusunod na ito ay nangangahulugan ng isang pag-aari na maiugnay sa taong iyon. Ngunit, sa isang panukala tulad ng (2) "Socrates ay ang pilosopo ng Athenian na uminom ng hemlock," ang mga expression na nauna at sumusunod sa "ay" kapwa mga indibidwal na pangalan, at ang kahulugan ng buong panukala ay ang indibidwal na pinangalanan ng una ay ang parehong indibidwal bilang indibidwal na pinangalanan ng pangalawa. Sa gayon, sa 2 "ay" maaaring mapalawak sa "ay kapareho ng indibidwal," samantalang sa 1 ay hindi maaaring. Tulad ng ginamit sa 2, ang "ay" ay nangangahulugan ng isang magkakaugnay na ugnayan — ibig sabihin, pagkakakilanlan — na ipinapalagay ng panukala na hahawak sa pagitan ng dalawang indibidwal. Ang isang panukala ng pagkakakilanlan ay maiintindihan sa kontekstong ito bilang iginiit na hindi hihigit sa ito; sa partikular na ito ay hindi dapat kunin bilang asserting na ang dalawang pagpapahiwatig ng pagbibigay ng pangalan ay may parehong kahulugan. Ang isang napag-usapan na halimbawa upang ilarawan ang huling puntong ito ay "Ang bituin sa umaga ay ang bituin ng gabi." Mali ito na ang mga expression na "morning star" at "night star" ay nangangahulugang pareho, ngunit totoo na ang bagay na tinutukoy ng dating ay pareho sa tinutukoy ng huli (ang planeta na Venus).

Upang paganahin ang mga form ng mga panukalang pagkakakilanlan na maipahayag, ang isang pare-pareho na prediksyon ng dyadic ay idinagdag sa LPC, kung saan ang pinakakaraniwang notasyon ay = (nakasulat sa pagitan, sa halip na bago, mga argumento nito). Ang inilaan na interpretasyon ng x = y ay ang x ay ang parehong indibidwal bilang y, at ang pinaka-maginhawang pagbabasa ay "x ay magkapareho sa y." Ang negation nito ∼ (x = y) ay karaniwang pinaikling bilang x ≠ y. Upang ang kahulugan ng isang modelo ng LPC na ibinigay nang mas maaga (tingnan sa itaas ng Kahalagahan sa LPC) ay naidagdag na ngayon ang panuntunan (na tinatanggap sa isang malinaw na paraan na may nilalayong interpretasyon) na ang halaga ng x = y ay magiging 1 kung ang parehong miyembro ng Itinalaga ang D sa parehong x at y at kung hindi man ang halaga nito ay maging 0; pagkatapos ay maaaring tukuyin ang bisa tulad ng dati. Ang mga sumusunod na karagdagan (o ilang mga katumbas) ay ginawa sa axiomatic na batayan para sa LPC: ang axiom x = x at ang axiom schema na, kung saan ang isang at b ay anumang mga indibidwal na variable at α at β ay mga wff na naiiba lamang sa, ang isa o higit pang mga lugar kung saan ang α ay may isang libreng paglitaw ng isang, ang β ay may libreng paglitaw ng b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) ay isang axiom. Ang ganitong sistema ay kilala bilang isang mas mababang-predicate-calculus-with-identity; maaari itong syempre pa lalo pang mapalaki sa iba pang mga paraan na tinukoy sa itaas sa "Extension ng LPC," kung saan ang anumang term ay maaaring maging isang argumento ng =.

Ang pagkakakilanlan ay isang kaugnayan sa pagkakapareho; ibig sabihin, ito ay pinabalik, simetriko, at palipat. Ang reflexivity nito ay direktang ipinahayag sa axiom x = x, at ang mga teoryang nagpapahayag ng simetrya at transitivity ay madaling makuha mula sa batayang ibinigay.

Ang ilang mga wff ng LPC-may-pagkakakilanlan ay nagpapahayag ng mga panukala tungkol sa bilang ng mga bagay na nagtataglay ng isang naibigay na pag-aari. "Hindi bababa sa isang bagay ay ϕ" ay maaaring, syempre, na ipinahayag ng (∃x) ϕx; "Hindi bababa sa dalawang natatanging (hindi sinasadya) na mga bagay ay ϕ" maaari nang ipahiwatig ng (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); at ang pagkakasunud-sunod ay maaaring magpatuloy sa isang malinaw na paraan. "Karamihan sa isang bagay ay ϕ" (ibig sabihin, "Walang dalawang magkakaibang mga bagay ang parehong ϕ") ay maaaring maipahayag sa pamamagitan ng negasyon ng huling nabanggit na wff o sa pamamagitan ng katumbas nito, (∀x) (∀y) [(ϕx ·)y) ⊃ x = y], at ang pagkakasunod-sunod ay maaaring madaling magpatuloy. Ang isang pormula para sa "Eksaktong isang bagay ay may" ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-uugnay sa mga pormula para sa "Hindi bababa sa isang bagay ay At" at "Karamihan sa isang bagay ay ϕ," ngunit ang isang mas simpleng wff na katumbas sa pagkakasamang ito ay (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], na nangangahulugang "May isang bagay na ϕ, at anupamang bagay ay ang bagay na iyon." Ang panukalang "Eksaktong dalawang bagay ay ϕ" ay maaaring kinakatawan ng (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; ibig sabihin, "Mayroong dalawang bagay na hindi pangkaraniwang bawat isa sa kung saan ay ϕ, at anupamang bagay na ϕ ay isa o iba pa." Malinaw, ang pagkakasunud-sunod na ito ay maaari ring palawakin upang magbigay ng isang pormula para sa "Eksaktong n mga bagay ay ϕ" para sa bawat natural na n. Ito ay maginhawa upang maiikli ang wff para sa "Eksaktong isang bagay ay ϕ" hanggang (∃! X) ϕx. Ang espesyal na quantifier na ito ay madalas na binabasa nang malakas bilang "E-Shriek x."

Walang limitasyong mga paglalarawan

Kung ang isang tiyak na pag-aari ay kabilang sa isa at iisang bagay, maginhawa na magkaroon ng isang pagpapahayag na nagngangalang object. Ang isang karaniwang notasyon para sa hangaring ito ay (ιx) ϕx, na maaaring basahin bilang "ang bagay na ϕ" o mas maikli bilang "ang ϕ." Sa pangkalahatan, kung saan ang isang indibidwal na variable at ang α ay anumang wff, (ιa) α pagkatapos ay nakatayo para sa isang solong halaga ng isang na ginagawang totoo ang α. Ang isang expression ng form na "ang so-and-so" ay tinatawag na isang tiyak na paglalarawan; at (ιx), na kilala bilang isang operator ng paglalarawan, ay maaaring isipin bilang bumubuo ng isang pangalan ng isang indibidwal sa labas ng isang form na panukala. (ιx) ay magkatulad sa isang quantifier na, kapag prefixed sa isang wff α, ito ay nagbubuklod sa bawat libreng paglitaw ng x sa α. Ang pag-relet ng mga variable na nakatali ay pinapayagan din; sa pinakasimpleng kaso, (ιx) ϕx at (ιy) ϕ ang bawat isa ay mababasa nang simpleng "ang ϕ."

Tulad ng pag-aalala ng mga patakaran sa pagbuo, ang mga tiyak na paglalarawan ay maaaring isama sa LPC sa pamamagitan ng pagpapaalam sa mga expression ng form (ιa) α bilang mga termino; tuntunin 1 ′ sa itaas, sa "Mga Extension ng LPC," ay papayagan silang maganap sa mga formula ng atom (kasama ang mga formula ng pagkakakilanlan). "Ang ϕ ay (ibig sabihin, ay may pag-aari) ψ" maaaring maipahiwatig bilang ψ (ιx) ϕx; "Y ay (ang parehong indibidwal na) ang ϕ" bilang y = (ιx) ϕx; "Ang ϕ ay (ang parehong indibidwal na) ang ψ" bilang (ιx) ϕx = (ιy) ψy; at iba pa.

Ang tamang pagsusuri ng mga panukala na naglalaman ng mga tiyak na paglalarawan ay naging paksa ng malaking kontrobersya ng pilosopiko. Ang isang malawak na tinatanggap na account, gayunpaman - malaki na ipinakita sa Principia Mathematica at kilala bilang teorya ng paglalarawan ng Russell - na ang "Ang ϕ ay ψ" ay maiintindihan bilang kahulugan na eksaktong isang bagay ay ϕ at ang bagay din ay ψ. Sa kasong ito maaari itong ipahiwatig ng isang wff ng LPC-may-pagkakakilanlan na walang mga operator ng paglalarawan-ibig sabihin, (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Analogously, "y ay ang ϕ" ay nasuri bilang "y ay ϕ at walang iba pa ϕ" at samakatuwid ay maipapahayag ng (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). "Ang ϕ ay ang" ay sinuri bilang "Eksaktong isang bagay ay ϕ, eksaktong isang bagay ay ψ, at kung ano ang ϕ ay ψ" at samakatuwid ay ipinahayag ng (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). Ang ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx at (ιx) ϕx = (ιy) ψy ay maaaring ituring bilang mga pagdadaglat para sa (1), (2), at (3), ayon sa pagkakabanggit; at sa pamamagitan ng paglalahat sa mas kumplikadong mga kaso, ang lahat ng mga wff na naglalaman ng mga paglalarawan ng mga operator ay maaaring ituring bilang mga pagdadaglat sa mas mahahalagang wff na hindi.

Ang pagsusuri na humahantong sa (1) bilang isang formula para sa "The The ay ϕ" ay humahantong sa sumusunod para sa "Ang ϕ ay hindi ψ": (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Mahalagang tandaan na (4) ay hindi ang negation ng (1); ang negasyong ito ay, sa halip, (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Ang pagkakaiba sa kahulugan sa pagitan ng (4) at (5) ay namamalagi sa katotohanan na (4) ay totoo lamang kung mayroong eksaktong isang bagay na ϕ at ang bagay na ito ay hindi ψ, ngunit (5) ay totoo pareho sa kasong ito at din kapag wala ng anumang at kung higit sa isang bagay ay ϕ. Ang pagpapabaya sa pagkakaiba sa pagitan ng (4) at (5) ay maaaring magresulta sa malubhang pagkalito ng pag-iisip; sa ordinaryong pananalita ay madalas na hindi maliwanag kung ang isang taong tumanggi na ang ϕ ay ψ ay nagkakilala na eksaktong isang bagay ay ϕ ngunit ang pagtanggi na ito ay ψ, o pagtanggi na eksaktong isang bagay ay ϕ.

Ang pangunahing pagtatalo ng teorya ng paglalarawan ni Russell ay ang isang panukala na naglalaman ng isang tiyak na paglalarawan ay hindi dapat ituring bilang isang pagsasaalang-alang tungkol sa isang bagay na ang paglalarawan na iyon ay isang pangalan ngunit sa halip bilang isang umiiral na nasusukat na paninindigan na ang isang tiyak (sa halip kumplikado) na pag-aari ay isang halimbawa. Pormal, ito ay makikita sa mga patakaran para sa pagtanggal ng mga operator ng paglalarawan na nakabalangkas sa itaas.