Pahintulot at kumbinasyon ng matematika

Ang mga permutasyon at kumbinasyon, ang iba't ibang mga paraan kung saan maaaring mapili ang mga bagay mula sa isang set, sa pangkalahatan nang walang kapalit, upang mabuo ang mga subset. Ang pagpili ng mga subset na ito ay tinatawag na permutation kung ang pagkakasunud-sunod ng pagpili ay isang kadahilanan, isang pagsasama kapag ang order ay hindi isang kadahilanan. Sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ratio ng bilang ng nais na mga subset sa bilang ng lahat ng posibleng mga subset para sa maraming mga laro ng pagkakataon sa ika-17 siglo, ang mga Pranses na matematika na sina Blaise Pascal at Pierre de Fermat ay nagbigay ng impetus sa pagbuo ng combinatorics at theory theory.

combinatorics: Mga coefficient ng Binomial

n mga bagay ay tinatawag na permutation ng n mga bagay na kinuha r sa isang pagkakataon. Ang bilang ng mga pahintulot ay

Ang mga konsepto ng at pagkakaiba sa pagitan ng mga pahintulot at mga kumbinasyon ay maaaring mailarawan sa pamamagitan ng pagsusuri sa lahat ng iba't ibang mga paraan kung saan ang isang pares ng mga bagay ay maaaring mapili mula sa limang nakikilalang mga bagay-tulad ng mga titik A, B, C, D, at E. Kung pareho ang mga titik na napili at ang pagkakasunud-sunod ng pagpili ay isinasaalang-alang, kung gayon ang mga sumusunod na 20 mga resulta ay posible:

Ang bawat isa sa 20 iba't ibang mga posibleng pagpipilian ay tinatawag na permutation. Sa partikular, tinawag silang mga permutasyon ng limang mga bagay na kinuha nang paisa-isa, at ang bilang ng mga pagpapahintulot na posible ay tinukoy ng simbolo na ₅ P ₂, basahin ang "5 permute 2." Sa pangkalahatan, kung mayroong n mga bagay na magagamit mula sa kung saan pipiliin, at ang mga permutasyon (P) ay mabubuo gamit ang k ng mga bagay nang sabay-sabay, ang bilang ng iba't ibang mga pinahihintulutang posible ay ipinapahiwatig ng simbolo _n P _k. Ang isang pormula para sa pagsusuri nito ay _n P _k = n! / (N - k)! Ang ekspresyon n! -Basa "n factorial" - nagpapahiwatig na ang lahat ng mga magkakasunod na positibong integer mula sa 1 hanggang sa at kabilang ang n ay dapat na dumami. at 0! ay tinukoy sa pantay na 1. Halimbawa, gamit ang pormula na ito, ang bilang ng mga pahintulot ng limang mga bagay na kinunan ng dalawa nang paisa-isa

(Para sa k = n, _n P _k = n! Sa gayon, para sa 5 mga bagay mayroong 5! = 120 na pagsasaayos.)

Para sa mga kumbinasyon, ang mga k object ay pinili mula sa isang hanay ng mga n object upang makagawa ng mga subset nang walang pag-order. Ang paghahambing sa nakaraang halimbawa ng permutation sa kaukulang kumbinasyon, ang mga subskripsyon ng AB at BA ay hindi na naiibang mga pagpipilian; sa pamamagitan ng pag-alis ng mga nasabing kaso ay mananatili lamang ang 10 iba't ibang posibleng mga subset — AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, at DE.

Ang bilang ng mga naturang mga subset ay ipinapahiwatig ng _n C _k, basahin ang "n pumili k." Para sa mga kumbinasyon, dahil ang mga k object ay may k! pag-aayos, may mga k! hindi maipahahayag na pahintulot para sa bawat pagpili ng mga bagay na k; kaya hinati ang pormula ng permutation ni k! nagbubunga ng sumusunod na formula ng kumbinasyon:

Ito ay pareho sa (n, k) koepisyent ng binomial (tingnan ang binomial teorem). Halimbawa, ang bilang ng mga kumbinasyon ng limang mga bagay na kinuha nang paisa-isa

Ang mga pormula para sa _n P _k at _n C _k ay tinatawag na mga pormula ng pagbibilang dahil maaari silang magamit upang mabilang ang bilang ng mga posibleng pahintulot o kumbinasyon sa isang naibigay na sitwasyon nang hindi kinakailangang ilista ang lahat.