Sturm-Liouville problema matematika

Ang problema sa Sturm-Liouville, o problema sa eigenvalue, sa matematika, isang tiyak na klase ng bahagyang kaugalian na mga equation (PDE) na napapailalim sa mga labis na pagpilit, na kilala bilang mga hangganan ng hangganan, sa mga solusyon. Ang ganitong mga equation ay pangkaraniwan sa parehong klasiko na pisika (halimbawa, thermal conduction) at mga mekanika ng quantum (halimbawa, equation ng Schrödinger) upang ilarawan ang mga proseso kung saan ang ilang panlabas na halaga (hangganan na halaga) ay gaganapin habang ang sistema ng interes ay nagpapadala ng ilang anyo ng enerhiya.

Noong kalagitnaan ng 1830s ang Pranses na matematiko na sina Charles-François Sturm at Joseph Liouville ay nakapag-iisa na nagtrabaho sa problema ng pagpapadaloy ng init sa pamamagitan ng isang metal bar, sa proseso ng pagbuo ng mga pamamaraan para sa paglutas ng isang malaking klase ng PDE, ang pinakasimpleng kung saan kumuha ng form [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 kung saan y ang ilang pisikal na dami (o ang pag-andar ng alon ng dami ng mekanikal) at λ ay isang parameter, o eigenvalue, na pumipilit sa ekwasyon kaya na nasiyahan ang mga halaga ng hangganan sa mga dulo ng agwat kung saan ang variable x saklaw. Kung ang mga pag-andar p, q, at r ay nagbibigay ng kasiya-siyang kondisyon, ang equation ay magkakaroon ng isang pamilya ng mga solusyon, na tinatawag na eigenfunctions, na naaayon sa mga solusyon sa eigenvalue.

Para sa mas kumplikadong nonhomogeneous case kung saan ang kanang bahagi ng equation sa itaas ay isang function, f (x), sa halip na zero, ang eigenvalues ​​ng kaukulang homogenous na equation ay maaaring ihambing sa mga eigenvalues ​​ng orihinal na equation. Kung naiiba ang mga halagang ito, ang problema ay magkakaroon ng isang natatanging solusyon. Sa kabilang banda, kung ang isa sa mga tugma ng eigenvalues ​​na ito, ang problema ay magkakaroon ng alinman sa walang solusyon o isang buong pamilya ng mga solusyon, depende sa mga katangian ng pagpapaandar f (x).