Patuloy na matematika ng hypothesis

Ang tuluy-tuloy na hypothesis, pahayag ng set theory na ang hanay ng mga tunay na numero (ang pagpapatuloy) ay nasa isang kahulugan na kasing liit nito. Noong 1873, pinatunayan ng matematika ng Aleman na si Georg Cantor na ang pagpapatuloy ay hindi mabilang — samakatuwid nga, ang tunay na mga numero ay isang mas malaking kawalang-hanggan kaysa sa mga bilang ng bilang - isang pangunahing resulta sa pagsisimula ng teorya bilang isang matematika na paksa. Bukod dito, binuo ni Cantor ang isang paraan ng pag-uuri ng laki ng mga walang katapusang hanay ayon sa bilang ng mga elemento nito, o kardinalidad. (Tingnan ang itinakda na teorya: Kardinalidad at mga walang-hanggan na numero.) Sa mga salitang ito, ang patuloy na hypothesis ay maaaring ipahiwatig tulad ng sumusunod: Ang kardinalidad ng pagpapatuloy ay ang pinakamaliit na hindi mabilang na kardinal na numero.

teorya ng set: Cardinality at mga walang-hanggan na numero

isang haka-haka na kilala bilang tuluy-tuloy na hypothesis.

Sa notasyon ni Cantor, ang tuluy-tuloy na hypothesis ay maaaring ^ipahiwatig ng simpleng equation 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁, kung saan ℵ ₀ ang kardinal na bilang ng isang walang katapusang hanay (tulad ng hanay ng mga likas na numero), at ang mga numero ng kardinal na mas malaki " maayos na mga hanay "ay ℵ ₁, ₂,

, ℵ _α,

, na-index ng mga numero ng pang-orden. Ang kardinalidad ng pagpapatuloy ay maaaring maipakita sa pantay na 2 ^{ℵ ₀}; sa gayon, ang tuluy-tuloy na hypothesis ay nagtatakda sa pagkakaroon ng isang hanay ng laki ng pagitan ng pagitan ng mga likas na numero at ang pagpapatuloy.

Ang isang mas malakas na pahayag ay ang pangkalahatang ^tuluy- tuloy na hypothesis (GCH): 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1} para sa bawat ordinal number α. Pinatunayan ng isang matematiko na taga-Wacław Sierpiński na sa GCH ay maaaring makuha ng isang napakahusay na pagpipilian.

Tulad ng napili ng isang napakahusay na pagpipilian, napatunayan ng anak na dalagang Amerikanong matematiko na si Kurt Gödel noong 1939 na, kung ang ibang pamantayang Zermelo-Fraenkel axioms (ZF; tingnan ang

talahanayan) ay pare-pareho, pagkatapos ay hindi nila ipinagtatanggol ang pagpapatuloy na hypothesis o kahit GCH. Iyon ay, ang resulta ng pagdaragdag ng GCH sa iba pang mga axioms ay nananatiling pare-pareho. Pagkatapos noong 1963 natapos ng Amerikanong matematiko na si Paul Cohen ang larawan sa pamamagitan ng pagpapakita, muli sa ilalim ng pag-aakala na ang ZF ay pare-pareho, na ang ZF ay hindi nagbibigay ng isang patunay ng pagpapatuloy na hypothesis.

Dahil ang ZF ay hindi nagpapatunay o hindi sumasang-ayon sa patuloy na hypothesis, nananatili ang tanong kung tatanggapin ang patuloy na hypothesis batay sa isang impormal na konsepto ng kung ano ang mga set. Ang pangkalahatang sagot sa komunidad ng matematika ay negatibo: ang pagpapatuloy na hypothesis ay isang paglilimita ng pahayag sa isang konteksto kung saan walang kilalang dahilan upang magpataw ng isang limitasyon. Sa set na teorya, ang operasyon na naka-set ng kapangyarihan ay nagtatalaga sa bawat hanay ng kardinalidad ℵ _α ang hanay ng lahat ng mga subset, na mayroong cardinality 2 ^{ℵ _α}. Tila walang dahilan upang magpataw ng isang limitasyon sa iba't ibang mga subset na maaaring magkaroon ng isang walang hanggan na hanay.